新工科教育下离散数学教学内容改革

　　摘 要：离散数学是培养计算思维能力的核心课程，教学内容抽象，理论性强。结合离散数学当前教学存在的不足之处和新工科教育要求，探索离散数学教学内容改革，以期提升新工科学生的离散化、抽象概括、形式推理、发散思维等计算     思维能力。

　　关键词：新工科；离散数学；计算思维；教学内容

　　0引言

　　新工科以互联网和工业智能为核心，培养学科交 叉、适应并引领产业发展的复合型人才，为跨界整合、解决复杂工程问题奠定基础[1]。其培养的复合型人才 不仅具有扎实的专业知识，还具备相关专业知识抽象 表示、逻辑思维、形式化证明、模型构建和离散求解等计算思维能力[2]，计算思维是探索和解决大型复杂工程问题的可行途径。

　　离散数学是纯数学与计算机科学的桥梁，培养计算机科学和软件工程专业学生从离散对象中探究潜在的关系、构建抽象模型、设计离散算法和解决问题可行性等能力[3]。该课程主要研究离散量的结构及关系，侧重于运用数学语言描述对象状态、关系和变化过程。其涉及的基本概念、理论和推理方法有助于培养学生运用计算机挖掘对象关系、多角度解决数值问 题和完备分析问题等技能。该课程传授的理论知识、方法和思维技能广泛用于计算机科学和软件工程专 业的建模分析和验证等方面，为设计开发鲁棒的、完 备的和高性能的应用软件奠定基础。

　　在新工科指导下，工科教育以多学科理论交叉为 基础，以工程应用为导向，继承相关专业的优点以便 利用人工智能、大数据分析技术解决复杂的工程问 题。传统工科专业与计算机的有机结合，对计算思维 提出了新的要求，从而对离散数学教学的知识结构、知识运用和逻辑思维训练等内容提出了新的挑战[4]， 具体包括以下四方面。

　　⑴ 对离散数学的知识结构提出挑战。随着传统工科专业和人工智能的深度结合，加速了工科专业学生的计算思维培养需求，延展了集合关系的计算机表示、关系分析及其函数构造的应用领域，提高了同态和同构思维在不同行业的创新应用。同时，降低了部分知识的重要性如数论和组合数学。

　　⑵ 对离散数学知识的运用提出了高要求。新工科理念驱使的学科交叉归根结底是数学模型和可行 计算方法的有机结合，这促使离散数学应适当减少纯 理论知识，致力于培养学生探索自身专业的离散对象 内在关系、关系分析和多角度解决实践问题的能力。继承传统工科学生对解的存在性和表示等优点，探索 解的可行性分析，促使理论转化为实践。

　　⑶ 跨学科计算思维能力培养。新工科建设要求学生在掌握专业理论知识的前提下，实现专业术语的符号化、定理数据化，推理过程化和模型离散化，结合人工智能解决本专业大型复杂的工程问题。

　　⑷ 跨学科发散思维和创新能力培养。跨学科创新需继承传统相关学科的优点，实现相关学科知识和 技能的互补。随着社会经济的快速发展，各行业相互 渗透，这造成了凭借单一专业知识难以解决的行业问 题日益增多，如海量数据的信息挖掘和解空间迁移。为了解决新出现的行业难题，这需要整合相关学科的 知识体系、将相关学科的先进技术融于一体、培养学 生的发散思维。

　　1传统离散数学教学内容缺陷

　　目前离散数学教学内容主要包括数理逻辑、集合 论、图论和代数系统，有些还涉及数论、组合数学和概 率论等内容[5]。其数理逻辑主要研究自然语句的符号 表示、形式证明和验证推理，从简单语句的共性出发， 培养学生对离散对象的概括能力；集合论以集合元素 为研究对象，探索集合元素的二元关系、计算机表示 和关系性质，以数据聚类为实例延伸集合论的实践环 节；图论是二元关系的一种直观表示和推广，有利于 从局部和整体出发挖掘集合关系。在图论知识的教 学中以计算机网络路径寻优为实例，锻炼学生分析问 题的能力。代数系统的教学中以运算为出发点，揭示 不同运算之间的内在联系和构造新运算，以支持向量 机的多项式核函数和径向基函数为实例，展示新运算 解决问题的有效性。传统离散数学教学内容及其实 践均是以计算机科学和软件工程专业为基石，致力于 培养学生的概括抽象能力、逻辑推理能力和归纳创新 能力。但面对跨专业的计算思维培养，其教学内容过于理论化、知识点分散而独立、相关专业的应用实例较少。这些缺陷使得该课程的教学内容、知识点和技能运用能力难以在其他工科实践中得到体现。

　　⑴ 教学内容过于理论化[6]。离散数学具有多概念、多符号、强理论、高度抽象等特点，这使得教师在授课过程中倾向概念定义、符号说明和理论演绎推理，侧重于数学的抽象性和严密性，强调理论结论和证明技巧。忽略了离散数学的工业应用背景，使得学生被动地灌注了大量概念、证明技能，推理方法和定理结论，但因缺乏与专业具体问题的有机结合，造就 了“学而不用”的现象，从而难以培养学生对自身专业知识的概括能力、分析推理能力和灵活运用能力。

　　⑵ 教学内容过于专业化。传统离散数学的教学内容主要研究离散量的结构及关系，它为计算机科学和软件工程专业的数据结构、算法设计与分析、编译原理、数据库原理、人工智能等课程提供数学理论基础。离散数学知识点的实例主要来源于机器学习、计算机网络和通信编码等专业领域，而涉及跨行业知识的应用实践环节较弱，如离散数学中关于图细化仅以概念形成给出，没有具体阐述细化方法和及其优缺点，这限制了图细化在有限元分析方法(物理专业)的拓展应用。薄弱的实践环节不能有效激发跨专业学生对该课程学习的兴趣，导致教学效果不理想。

　　⑶ 教学知识点过于独立分散[7]。离散数学的教学内容主要涉及自然语句、集合、图论和运算等对象， 且每个对象分别对应各自独立的、自成体系的知识模块。 其中数理逻辑根据简单语句的共性，对命题进行命题  符号化表示，结合推理规则进行符号推理演算和证明； 集合侧重于阐述元素关系的存在与否，关系的共性及  其应用；图论以二元关系的直观表示为基础，借助邻接  矩阵和关联矩阵分析图的道路、连通分支数和子图。 代数系统根据运算的可交换性、可结合性、幺元和逆  元的存在性，讲述半群、群和布尔代数及其应用。这  些对象及其内容自成体系，强调知识模块的独立性和  完备性，使得学生支离破碎地学习离散数学知识点， 缺乏系统掌握相关内容。各自独立的知识模块削弱  了离散数学与专业课程的关联，使得相关内容在工程  问题分析、模型构建、模型离散化和求解的可行性等  方面未充分发挥其作用。同时每个知识模块具有多  概念、多公式，强理论、强抽象和强逻辑等特点，这种  “两多三强”的特性导致大部分学生将离散数学当作 一门纯数学理论课程，难以将所学知识应用于实践。

　　2离散数学教学内容改革

　　跨学科交叉专业应以多学科交叉理论为基础，实 践教学为重点，培养工程实践能力、创新能力和智能 化应用能力，达到自主创新解决业界问题。对此，学 生需具有多学科专业语句符号化，专业相关的形式化 推理、演绎和证明能力，挖掘对象关系、计算机表示、模型创新构建和可行计算等思维能力。面向跨学科 计算思维的培养需求，离散数学的教学内容应继承传 统工科教学优点，结合计算机科学和工业智能，培养 交叉专业学生的归纳能力、概括能力、计算思维和工 程实践能力。

　　2.1教学内容系统化

　　传统工科专业课程普遍具有研究对象明确、知识模块联系紧密等特点。如电力系统规划课程以电网为对象，仅仅围绕电网规划和建设，分析不确定因素对电网的负面影响和电力预测等内容。面对学生习惯于接受系统性的知识内容，离散数学的知识模块需要重组优化，突出知识模块间的潜在联系，弥补其独立性。如在离散数学教学过程中，以自然语句为对象，根据语义将语句分为命题（对象外在属性判断）或谓词（对象内在关系的判断），分析命题和谓词的共性以及两者的差异性；结合谓词逻辑研究对象的内在关系，引申出集合和二元关系表示、关系性质分析等知识，分析二元关系的不同表示之优缺点，对关系的有向图表示进行延续讲述图论相关概念。综合分析离散数学中各个知识模块间的关系在多学科交叉教学中具有以下优点：

　　⑴ 有助于激发学生持续不断地学习离散数学的相关知识；

　　⑵ 在分析过程中有助于培养学生分析问题能力，探究传统方法的优缺点，激发学生从不同角度提出创新思想；

　　⑶ 有助于学生系统地学习、掌握离散数学知识和技能。

　　2.2教学内容侧重于抽象概括和形式推理能力培养

　　传统工科专业课程中涉及大量专业术语和定理， 这些术语和定理均利用自然语句描述连续对象。为 了运用计算机解决定理相关的工程问题，对专业术语 和定理的数据离散化处理是首要环节。结合离散数 学命题符号表示的本质，培养学生从不同角度对专业 术语和定理进行数据离散化表示能力。从数据表示方面鼓励学生在本专业领域的创新，如集合的特征函数表示弥补了经典集合的不足。

　　离散数学的代数系统摒弃运算差异性，将注意力 集中于运算的基本性质，揭示运算更一般的规律性。以此为例，在教学内容上应致力于培养学生对不同问 题高度抽象能力，使学生把握事物本质并反过来指导 实践中的深入应用。借助此模块知识讲授，分析不同 专业的研究对象和具体问题的共性，培养学生概括能 力，为引领业界奠定基础。

　　2.3教学内容注重发散思维能力培养

　　离散数学应有助于培养跨专业学生多角度分析解决具体问题的能力，如数理逻辑学模块运用直接 法、CP 规则法、反证法和机械消元法等进行形式证明同一问题。以此为基础，借助数学符号推理训练学生 分析问题的能力，总结不同方法可解决问题的前提条 件，提升学生解决问题的灵活性；比较各种方法的优 缺点，激发学生创新性地提出新方法，以便弥补传统 方法的缺点。以集合的二元关系表示为例，分析其集 合表示、图表示和矩阵表示等方法各自优点，如集合 表示具有紧凑性；矩阵表示有利于计算机分析关系性质； 图表示有助于主观分析元素间的局部性和整体性。在交叉专业基础知识的指导下，培训学生的发散思维 能力。

　　2.4教学内容强调分析问题的完备性

　　离散数学中大多数定理均具有前提条件，这类似于不同专业理论结论的边界条件。类比分析前提和边界条件两者共性，模拟离散数学中对不满足定理前提条件问题的解决方法。结合专业结论的边界条件和专业知识应用条件的多样性，培养交叉专业学生分析问题的完备性能力。

　　3结束语

　　传统工科与计算机科学的有机结合延伸了离散数学教学内容在交叉学科的广泛应用。在传统工科专业理论基础上，继承传统离散数学教学内容的优点，激发学生的探索创新学习，扩展专业知识的应用领域。 面对交叉专业的离散数学教学应具有知识系统性、适当减少理论知识和增加实例分析环节，弥补传统内容过于理论化的不足。特别是引入专业相关的问题分析、模型可行计算和工程实践，侧重于培养学生的抽象概括能力、发散思维能力和全面分析问题能力，使离散数学教学内容在新工科理念驱使的交叉专业应用型人才培养中发挥重要作用。

　　作者：何坤